球體計(jì)算
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2010-12-16 11:08:41
編輯：清風(fēng)斬月
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球體的定義
定義：空間中到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形叫做球。
球面是一個(gè)連續(xù)曲面的立體圖形，由球面圍成的幾何體稱為球體。
球體的組成
球的表面是一個(gè)曲面,這個(gè)曲面就叫做球面。
球和圓類似,也有一個(gè)中心叫做球心。
星體，特指“地球”。
數(shù)學(xué)中的球體
球體基本概念
半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所成的曲面叫做球面。
球面所圍成的幾何體叫做球體，簡(jiǎn)稱球。
半圓的圓心叫做球心。
連結(jié)球心和球面上任意一點(diǎn)的線段叫做球的半徑。
連結(jié)球面上兩點(diǎn)并且經(jīng)過(guò)球心的線段叫做球的直徑。
球體性質(zhì)
用一個(gè)平面去截一個(gè)球，截面是圓面。球的截面有以下性質(zhì)：
1 球心和截面圓心的連線垂直于截面。
2 球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r有下面的關(guān)系：r^2=R^2-d^2
球面被經(jīng)過(guò)球心的平面截得的圓叫做大圓，被不經(jīng)過(guò)球心的截面截得的圓叫做小圓。
在球面上，兩點(diǎn)之間的最短連線的長(zhǎng)度，就是經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長(zhǎng)度，我們把這個(gè)弧長(zhǎng)叫做兩點(diǎn)的球面距離。
球體函數(shù)
半徑為r的球的函數(shù)為：r^2=x^2+y^2+z^2
球體的計(jì)算公式
半徑是R的球的體積 計(jì)算公式是：V=（4/3）πR^3(三分之四乘以π乘以半徑的三次方)
V=（1/6）πd^3 (六分之一乘以π乘以直徑的三次方)
半徑是R的球的表面積 計(jì)算公式是：S=4πR^2（4倍的π乘以R的二次方）
圖1
證明：
證：V球=4/3*pi*r^3
欲證V球=4/3pi*r^3，可證V半球=2/3pi*r^3
做一個(gè)半球h=r, 做一個(gè)圓柱h=r(如圖1)
∵V柱-V錐
= pi*r^3- pi*r^3/3
=2/3pi*r^3
∴若猜想成立，則V柱-V錐=V半球
∵根據(jù)卡瓦列利原理，夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)立體圖形，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果所得的兩個(gè)截面面積相等，那么，這兩個(gè)立體圖形的體積相等。
∴若猜想成立，兩個(gè)平面：S1(圓)=S2(環(huán))
1.從半球高h(yuǎn)點(diǎn)截一個(gè)平面 根據(jù)公式可知此面積為pi*(r^2-h^2)^0.5^2=pi*(r^2-h^2)
2.從圓柱做一個(gè)與其等底等高的圓錐：V錐 根據(jù)公式可知其右側(cè)環(huán)形的面積為pi*r^2-pi*r*h/r=pi*(r^2-h^2)
∵pi*(r^2-h^2)=pi*(r^2-h^2)
∴V柱-V錐=V半球
∵V柱-V錐=pi*r^3-pi*r^3/3=2/3pi*r^3
∴V半球=2/3pi*r^3
由V半球可推出V球=2*V半球=4/3*pi*r^3
證畢
當(dāng)然，求球體體積的方法很多，較容易讓人理解的是用重積分的方法
解：積分區(qū)域如圖
積分區(qū)域，圓的半徑為r
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